Question

若△ABC滿足，則tanB的最大值是________．

Answer 1

分析：由A和B為三角形的內(nèi)角，得到sinA和sinB都大于0，進(jìn)而確定出C為鈍角，利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知等式的左邊，得到sinB=-3sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，得到tanC=-4tanA，將tanB利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)為-tan（A+C），利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將tanC=-4tanA代入，變形后利用基本不等式求出tanB的范圍，即可得到tanB的最大值．
解答：∵sinA＞0，sinB＞0，
∴=-3cosC＞0，即cosC＜0，
∴C為鈍角，sinB=-3sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC，即cosAsinC=-4sinAcosC，
∴tanC=-4tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-=-=≤，
當(dāng)且僅當(dāng)，即tanA=時(shí)取等號(hào)，
則tanB的最大值為．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵．