分析:由A和B為三角形的內(nèi)角,得到sinA和sinB都大于0,進(jìn)而確定出C為鈍角,利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知等式的左邊,得到sinB=-3sinAcosC,再由sinB=sin(A+C),利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn),得到tanC=-4tanA,將tanB利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)為-tan(A+C),利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn),將tanC=-4tanA代入,變形后利用基本不等式求出tanB的范圍,即可得到tanB的最大值.
解答:∵sinA>0,sinB>0,
∴
=-3cosC>0,即cosC<0,
∴C為鈍角,sinB=-3sinAcosC,
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC,即cosAsinC=-4sinAcosC,
∴tanC=-4tanA,
∴tanB=-tan(A+C)=-
=-
=
≤
,
當(dāng)且僅當(dāng)
,即tanA=
時(shí)取等號(hào),
則tanB的最大值為
.
故答案為:
.
點(diǎn)評(píng):此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式,以及基本不等式的運(yùn)用,熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵.