Question

已知f（x）為定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＞xf′（x）恒成立，則不等式x²f（

1

x

）-f（x）＞0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令輔助函數(shù)F（x）=

f(x)

x

，求其導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出F（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷出由不等式

f( 1 x )

1 x

＞

f(x)

x

的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答： 解：令F（x）=

f(x)

x

，則F（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）=

f(x)

x

為定義域上的減函數(shù)，
由不等式x²f（

1

x

）-f（x）＞0，
得：

f( 1 x )

1 x

＞

f(x)

x

，
∴

1

x

＜x，
∴x＞1，
故答案為：{x|x＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．此題為中檔題．