Question

15．定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=f（x+2），當x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． f（ cos$\frac{2π}{3}$）＞f（sin$\frac{2π}{3}$）
• B． f（sin 1）＜f（cos 1）
• C． f（sin$\frac{π}{6}$）＜f（cos$\frac{π}{6}$）
• D． f（cos 2）＞f（sin 2）

Answer 1

分析 根據定義可知f（x+2）=f（x），得出函數的周期，觀察選項，將區(qū)間[1，3]分解為[1，2]和（2，3]兩部分，去絕對值討論出函數的單調性，再觀察題設條件與選項．選項中的數都是（-1，1）的數，故利用f（x）=f（x+2）找出函數在（-1，1）上的單調區(qū)間，用單調性比較大�。�

解答 解：∵f（x+2）=f（x），
∴函數的周期為2，
∵當x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，
∴x∈[1，2]時，f（x）=x，故函數f（x）在[1，2]上是增函數，x∈（2，3]時，f（x）=4-x，故函數f（x）在[2，3]上是減函數，
又定義在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），故函數的周期是2
所以函數f（x）在（-1，0）上是增函數，在（0，1）上是減函數，
觀察四個選項：A選項中 f（cos$\frac{2π}{3}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{2}{3}$，f（sin$\frac{2π}{3}$）=f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=f（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故A不對；
B選項中0＜cos1＜sin1＜1，故B為真命題；
C選項中sin $\frac{π}{6}$＜cos $\frac{π}{6}$＜1，故C為假命題；
D選項中 f（cos2）=2-cos2＞2＞f（sin2）=2-sin2   
綜上，選項B是正確的．
故選：B．

點評 考查了抽象函數周期性的判斷和利用周期性求函數的解析式，利用單調性解決問題．