Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，右頂點(diǎn)為A，P為橢圓C₁上任意一點(diǎn)．
（1）求

PF1

•

PF2

 的最大值；
（2）設(shè)雙曲線C₂以橢圓C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，B是雙曲線C₂在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)

PF1

•

PF2

的最大值為3c²時(shí)，是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x，y），從而表示出向量

PF1

，

PF2

；進(jìn)而求

PF1

•

PF2

 的最大值；
（2）雙曲線方程為3x²-y²=3c²，設(shè)動(dòng)點(diǎn)B（m，n）（m＞c），表示出向量

F1B

=（m+c，n），

F1A

=（3c，0），

AB

=（m-2c，n），

AF1

=（-3c，0），從而求出cos∠BAF₁，cos∠BF₁A；從而求出λ的值．

解答： 解：（1）由題意，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x，y）；
則

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y），
則

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²=x²+b²-

b2

a2

x2-c²
=（1-

b2

a2

）x²+b²-c²，
則當(dāng)x=a或x=-a時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值，

PF1

•

PF2

=a²-c²=b²．
（2）當(dāng)b²=3c²時(shí)，
可得雙曲線方程為3x²-y²=3c²，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)B（m，n）（m＞c），
則有n²=3（m²-c²），

F1B

=（m+c，n），

F1A

=（3c，0），

AB

=（m-2c，n），

AF1

=（-3c，0），
于是：cos∠BAF₁=

-(m-2c)

(m-2c)2+n2

=

2c-m

4m2-4cm+c2

=

2c-m

2m-c

，
cos∠BF₁A=

m+c

(m+c)2+n2

=

m+c

4m2+2cm-2c2

，
∵2cos²∠BF₁A-1=

2m2+4mc+2c2

4m2+2cm-2c2

-1=

2c-m

2m-c

=cos∠BAF₁，
∴∠BAF₁=2∠BF₁A，
即λ=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用，同時(shí)考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．