Question

已知函數(shù)f(x)=

x

ex

，g(x)=

(2-x)ex

e2

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求證：當x＞1時，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：f（x₁）＞f（2-x₂）．

Answer 1

分析：（1）對f（x）求導，令f′（x）=0，解出后判斷根的兩側(cè)導函數(shù)的符號即可確定出單調(diào)性和極值．（2）比較兩個函數(shù)的大小可將它們作差，研究新函數(shù)的最小值，使最小值大于零，不等式即可證得．（3）由（2）的結(jié)論知x＞1時，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）＞0，∴f（x₂）＞g（x₂）．∵f（x₁）=f（x₂），∴f（x₁）＞g（x₂）．即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=

x

ex

，∴f'（x）=

1-x

ex

．
令f'（x）=0，解得x=1．

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值 1 e	↘

∴f（x）在（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∴當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=

1

e

．

（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=

x

ex

-

(2-x)ex

e2

，
則F'（x）=

1-x

ex

-

ex(1-x)

e2

=

(1-x)(e2-e2x)

ex+2

．
當x＞1時，1-x＜0，2x＞2，從而e²-e^2x＜0，
∴F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（1，+∞）是增函數(shù)．
∴F（x）＞F（1）=

1

e

-

1

e

=0，故當x＞1時，f（x）＞g（x）．
（3）證明：∵f（x）在（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)、
∴當x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）時，x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
不妨設(shè)x₁＜1＜x₂，
由（2）的結(jié)論知x＞1時，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）＞0，∴f（x₂）＞g（x₂）．
∵f（x₁）=f（x₂），∴f（x₁）＞g（x₂）．
又g（x₂）=f（2-x₂），∴f（x₁）＞f（2-x₂）．

點評：此題是個難題．主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力．