Question

4．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的兩焦點分別為F₁、F₂，點P是橢圓C的上頂點，求△PF₁F₂內切圓方程；
（Ⅲ）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，求證：直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據條件便得到a=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而便可得出c=$\sqrt{3}$，b=1，這樣便得出橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）根據題意便知△PF₁F₂內切圓的圓心在y軸上，設圓心為（0，m），m＞0，并且圓半徑為m，可以得出點P，F₂的坐標，從而得出直線PF₂的方程為$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$，這樣即可得出圓心到該直線的距離$\frac{|\sqrt{3}m-\sqrt{3}|}{2}=m$，從而可求出m，這樣便可得出內切圓的方程；
（Ⅲ）可將直線l的方程帶入橢圓C的方程并整理可以得到（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，可設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），從而由韋達定理得到${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．可分別寫出直線AM和BN的方程，從而可分別求出這兩直線與x=4的交點$R（4，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}），Q（4，\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$，從而可證明R，Q兩點重合，即這兩點的縱坐標相等，這樣便可證出直線AM與直線BN的交點在直線x=4上：M，N都在直線l上，從而有y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₁-1），然后證明$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}-\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=0$即可．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，a=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$c=\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1；
∴橢圓C的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）$|{F_1}{F_2}|=2\sqrt{3}，P（0，1），|P{F_1}|=|P{F_2}|=a=2$；
∴△PF₁F₂為等腰三角形；
∴△PF₁F₂的內切圓的圓心在y軸上設圓心（0，m），m＞0，∴$R=m，{F_2}（\sqrt{3}，0）$；
直線PF₂的方程為$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$，內切圓與直線PF₂相切，圓心到PF₂的距離$d=\frac{{|\sqrt{3}m-\sqrt{3}|}}{2}=m$解得$m=2\sqrt{3}-3$；
∴△PF₁F₂內切圓方程為${x}^{2}+（y-2\sqrt{3}+3）^{2}=21-12\sqrt{3}$；
（Ⅲ）證明：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓C的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$并整理得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0；
∵直線過（1，0），∴△＞0恒成立；
設直線l與橢圓C的C交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
由根與系數的關系，得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$；
直線AM的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，它與直線x=4的交點坐標為$R（4，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$；
同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為$Q（4，\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$；
下面證明P，R兩點重合，即證明P，R兩點的縱坐標相等：
y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）；
∴$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}-\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=\frac{6k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-2）-2k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+2）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2k[2•\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-5•\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+8]}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{{2k[\frac{{8{k^2}-8-40{k^2}+8+32{k^2}}}{{1+4{k^2}}}]}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}=0$，因此結論成立；
綜上可知．直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓的頂點和焦點，三角形內切圓的性質，圓的標準方程，根據兩點坐標求過兩點的直線方程，以及點到直線的距離公式，韋達定理，直線的點斜式方程，直線上的點的坐標和直線方程的關系．