已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。

（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令，比較與的大小，并證明。（本小題滿分14分）

（Ⅰ）.

（Ⅱ）當(dāng)，當(dāng)時(shí)


解析:

（I）在中，令n=1，可得，即

當(dāng)時(shí)，，…… 2分

.

  .                   .   

 又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. ……………………4分

 于是.……………………5分

(II)由（I）得，所以

由①-②得                  

……………………8分

于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小

由                  

可猜想當(dāng)證明如下：……………………10分

證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。

（2）假設(shè)時(shí)

所以當(dāng)時(shí)猜想也成立

綜合（1）（2）可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有

證法2：當(dāng)時(shí)

綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k的值為
8
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=4n2+1，則a1和a10的值分別為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an=
1
2
Sn+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=log2an，cn=
1
bnbn+1
，且數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河南省高三第三次大考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為等差數(shù)列，又成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為

   （I）求的通項(xiàng)公式；

   （II）數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

   （III）若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

 

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