Question

11．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若cos²A+cos²C+$\sqrt{2}$sinAsinC=1+cos²B．則$\sqrt{2}$sinA+cosC的最大值是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合正弦定理，得a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac，利用余弦定理求出B．用A表示出C，得到$\sqrt{2}$sinA+cosC關(guān)于A的函數(shù)，

解答 解：∵cos²A+cos²C+$\sqrt{2}$sinAsinC=1+cos²B．
∴1-sin²A+1-sin²C+$\sqrt{2}$sinAsinC=1+1-sin²B，
∴a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$．
∴C=$\frac{3π}{4}-A$．
∴$\sqrt{2}$sinA+cosC=$\sqrt{2}$sinA+cos（$\frac{3π}{4}-A$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA=$\sqrt{5}$sin（A-φ）．
其中tanφ=$\frac{1}{3}$，∴0°＜φ＜30°，
∵0°＜A＜135°，∴-30°＜A-φ＜120°，
∴當(dāng)A-φ=90°時，$\sqrt{2}$sinA+cosC取得最大值$\sqrt{5}$．
故選D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正余弦定理，屬于中檔題．