Question

已知函數(shù)f（x）=

2

cos（x+

π

4

），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）若θ∈（0，

π

2

），且f（θ）=

1

2

，求sin2θ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)f(x)=

2

cos(x+

π

4

)，可得函數(shù)f（x）的最小正周期以及值域．
（2）根據(jù)f(θ)=

1

2

，求得cos(θ+

π

4

)=

2

4

，再根據(jù)sin2θ=-cos(

π

2

+2θ)=1-2cos2(θ+

π

4

)，計算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）∵f(x)=

2

cos(x+

π

4

)，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．
∵x∈R，cos(x+

π

4

)∈[-1，1]，∴

2

cos(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
即函數(shù)f（x）的值域為[-

2

，

2

]．
（2）∵f(θ)=

1

2

，∴

2

cos(θ+

π

4

)=

1

2

，∴cos(θ+

π

4

)=

2

4

，
∴sin2θ=-cos(

π

2

+2θ)=1-2cos2(θ+

π

4

)=1-2×(

2

4

)2=

3

4

．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、值域以及二倍角公式的應用，屬于中檔題．