Question

某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），
⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計	60	40	100

是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
參考公式：
參考列表：

P（K2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖可知：學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=，由此能夠求出n的值并補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）求出K²，比較K²與3.841的大小，能夠判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由題設(shè)條X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，能夠得到X的分布列和EX．
解答：解：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
則由圖可知：P₁=×30=，P₂=×30=，
∴學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=，
由題n×=5∴n=100，…（2分）
又P₃=×30=，P₅=×30=，
P₆=×30=，P₇=×30=，
P₈=×30=，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）
=1-=1-=，
第④組的高度h=×==．
頻率分布直方圖如圖：（未標(biāo)明高度1/120扣1分）…（4分）
（2）K²=≈5.556
由于K²＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，
第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人．
則X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=i）=，（i=0，1，2，3），
∴P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列為：

P		1	2	3
X

EX=0×+1×+2×+3×===．
點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．