Question

解答題 如圖所示，直角梯形ABMN中，∠NAB＝90°，AN∥BM，AB＝2，AN＝，BM＝，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)N (1) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓C方程； (2) (理科)若點(diǎn)E滿足，問(wèn)是否存在不平行AB的直線L與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且|PE|＝|QE|，若存在，求出直線L與AB夾角的范圍；若不存在，說(shuō)明理由?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，A(－1，0)，B(1，0)，N(－1，)，設(shè)所求橢圓方程為，……………………3分 把N點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，可得：，，解得，故所求橢圓方程為：(理科)………5分(文科6分)
(2)	解：(理科)設(shè)E(x，y)，M(1，)∵∴E(0，1)．顯然L：x＝0不滿足，設(shè)L：y＝kx＋m(k≠0)，與橢圓方程聯(lián)立可得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0 由Δ＞0可得4k2＋3≥m2，……………………9分 設(shè)PQ的中點(diǎn)為F(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則2x0＝，2y0＝ 由PQ⊥EFm＝， ∴≥， ∴0＜k2≤1，∴k∈[－1，1]且k≠0 ∴L與AB的夾角范圍為(0，……………14分