【題目】已知f(x)=e2x﹣x2﹣a.
(1)證明f(x)在(﹣∞,+∞)上為增函數(shù);
(2)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f[f(x)]>x;
(3)若f[f(x)﹣x2﹣2x]>f(x)在(0,+∞)上恒成立,求a的最大整數(shù)值.

【答案】
(1)證明:f'(x)=2e2x﹣2x=2(e2x﹣x),

設(shè)g(x)=e2x﹣x,g'(x)=2e2x﹣1=0,

x,g′(x),g(x)的變化如下:

x

(﹣∞, ln

ln

ln ,+∞)

g′(x)

0

+

g(x)

極小值

= ,

∴g(x)>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在R上為增函數(shù)


(2)解:a=1時(shí),f(x)=e2x﹣x2﹣1,

∵f(x)在R上為增函數(shù),∴若f(x)≤x,

則f[f(x)]≤f(x)≤x,與f[f(x)]>x矛盾;

若f(x)>x,則f[f(x)]>f(x)>x,故成立.

經(jīng)化簡(jiǎn)f[f(x)]>x,則f(x)>x,∴e2x﹣x2﹣1>x,即e2x>x2+x+1,

∵x2+x+1>0,即2x>ln(x2+x+1),

∴設(shè)h(x)=2x﹣ln(x2+x+1),

h′(x)=2﹣ = >0,

∴h(x)在R上為增函數(shù),∴h(x)>h(0),得x>0,

∴原不等式解集為(0,+∞)


(3)解:∵f(x)在R上為增函數(shù),∴f(x)﹣x2﹣2x>x,即e2x﹣2x2﹣3x>a,

令G(x)=e2x﹣2x2﹣3x,G′(x)=2e2x﹣4x﹣3=2(e2x﹣2x﹣ ),

設(shè)H(x)=e2x﹣2x﹣ ,H′(x)=2e2x﹣2,

∴x>0時(shí),e2x>1,H′(x)>0,

∴H(x)在(0,+∞)為增函數(shù),

∴G′(x)=2H(x)在(0,+∞)為增函數(shù),

G′( )=2(e﹣ )>0,G′( )=2( )<0,

∴G'(x)=0有任一解,設(shè)為x0∈( , ),

∴x>0時(shí),x,G′(x),G(x)的變化如下:

x

(0,x0

x0

(x0,+∞)

G′(x)

0

+

G(x)

極小值

∴G(x)min=G(x0)= ﹣2 ﹣3x0,

﹣2x0 =0,即 =2x0+ ,

∴G(x)min=﹣2 ﹣x0+ ∈( ),

又∵a∈Z,∴amax=0


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而證明函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)求出函數(shù)的解析式,問題轉(zhuǎn)化為e2x>x2+x+1,由x2+x+1>0,得2x>ln(x2+x+1),設(shè)h(x)=2x﹣ln(x2+x+1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可;(3)令G(x)=e2x﹣2x2﹣3x,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)H(x)=e2x﹣2x﹣ ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出G(x)的最小值,從而求出a的最大值即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

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B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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(1)求甲乙兩人采用不同分期付款方式的概率;
(2)記X(單位:萬元)為該汽車經(jīng)銷商從甲乙兩人購車中所獲得的利潤(rùn),求X的分布列與期望.

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