Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O（0，0）．A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），其中α∈（

π

2

，

3π

2

）．
（1）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值．
（2）若f（α）=

OC

•

OD

-t²+2在定義域α∈（

π

2

，

3π

2

）有最小值-1，求t的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：本題（1）利用平面向量的坐標(biāo)化，得到角α的三角函數(shù)關(guān)系，通過三角化簡變形后，得到所求三角函數(shù)式的值；（2）通過換元，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值，得到關(guān)于t的方程，求出t的值．

解答： 解：由

AC

•

BC

=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=

2

3

．
又

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=sinαcosα．
由①式兩邊平方得1+2sinαcosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

4

9

．
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=-

5

9

．
（2）依題意記y=f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2
=2（1-cos²α）-tsinα-t²+2=2sin²α-tsinα-t²．
令x=sinα，α∈(

π

2

，

3π

2

)∴sinα∈（-1，1）．
y=2x²-tx-t²，x∈（-1，1）
關(guān)于x的二次函數(shù)開口向上，對稱軸為x=

t

4

，
y=2x²-tx-t² 在x∈（-1，1）上存在最小值，
則對稱軸x=

t

4

∈(-1，1)，∴t∈（-4，4）．
且當(dāng)x=

t

4

時，y=2x²-tx-t² 取最小值為ymin=2×

t2

16

-t•

t

4

-t2=-

9

8

t2=-1．
∴t=±

2 2

3

．

點評：本題考查了化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及到三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)．本題有一定的難度，屬于中檔題．