Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，一個動圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交曲線于，兩點(diǎn)，問曲線上是否存在一個定點(diǎn)，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)拋物線定義，即可求得軌跡方程；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理，結(jié)合，即可恒成立問題，即可求得點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由題意，圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程是.

（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，

所以可設(shè)直線方程為，，，

由整理得，

，，，

假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，顯然且，

則，即.

因?yàn)?/span>，，

所以，

即，

因?yàn)?/span>且，所以，

即，

所以，即，

上式要恒成立，所以，即定點(diǎn).

綜上所述，存在定點(diǎn)滿足題意.