Question

19．設直線l與拋物線y²=4x相交于A，B兩點，過原點O作l的垂線，垂足為M，當$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值時，點M的軌跡方程是x²+y²-2x=0．

Answer 1

分析 確定$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值時，直線過定點（2，0），利用OM⊥AB，∠OMF=90°，可得點M的軌跡是以OF為直徑的圓，其圓心（1，0），半徑為1，即可求出點M的軌跡方程．

解答 解：設直線l的方程為x=my+b，則
代入y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=b²，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-4b=（b-2）²-4，
∴b=2，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$取最小值，
∵OM⊥AB，
∴∠OMF=90°，
∴點M的軌跡是以OF為直徑的圓，其圓心（1，0），半徑為1．
其方程為：x²+y²-2x=0．
故答案為：x²+y²-2x=0．

點評 本題主要考查了圓錐曲線的軌跡問題、拋物線的標準方程和拋物線與其他圓錐曲線的關系．考查了學生分析和解決問題的能力．