Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）當b=-1時，求在曲線y=f（x）上一點（0，f（0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（1）當b=-1時，f（0）=0，切線斜率kk=f′（0）=-1，點斜式即可求得切線方程；
（2）先求出函數(shù)的定義域，求導數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)按①當b≥1時，②當b＜1時，③當0＜b＜1時三種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，根據(jù)極值點的定義即可求得；

解答：解：（1）當b=-1時，f（x）=2x²-ln（x+1），f（0）=0，
f′（x）=4x-

1

x+1

，
在點（0，f（0））處的切線斜率k=f′（0）=-1，
所以所求切線方程為：y=-x；
（2）函數(shù)f（x）=2x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=4x+

b

x+1

=

4x2+4x+b

x+1

=

(2x+1)2+b-1

x+1

，
①當b≥1時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點；
②當b＜1時，解f′（x）=0得兩個不同解x1=

-1- 1-b

2

，x2=

-1+ 1-b

2

，
當b＜0時，x1=

-1- 1-b

2

＜-1，x2=

-1+ 1-b

2

＞-1，
所以此時f′（x）在（-1，x₂）上小于0，在（x₂，+∞）上大于0，即f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2=

-1+ 1-b

2

；
③當0＜b＜1時，在（-1，x₁），（x₂，+∞）上f′（x）＞0，則（x₁，x₂）上f′（x）＜0，
此時f（x）有一個極大值點x1=

-1- 1-b

2

和一個極小值點x2=

-1+ 1-b

2

；
綜上可知，b＜0時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2=

-1+ 1-b

2

；
0＜b＜1時，f（x）有一個極大值點x1=

-1- 1-b

2

和一個極小值點x2=

-1+ 1-b

2

；
b≥1時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程、函數(shù)在某點取得極值的條件，注意f′（x₀）=0是x₀為可導數(shù)函數(shù)的極值點的必要不充分條件．