Question

已知f（x）=（cos⁴x-sin⁴x）+2
（1）求函數f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：先由同角正余弦的關系式及余弦的倍角公式把原函數轉化為y=cosωx的形式，再利用y=cosωx的性質解決問題；

解答： 解：f（x）=cos⁴x-sin⁴x+
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）+2
=1•cos2x+2
=cos2x+2，
（1）∴函數的最小正周期為T=π，最大值為3，最小值為1；
（2）∵y=cosx的單調遞減區(qū)間為{2kπ，2kπ+π]即
2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
∴kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
∴f（x）的單調減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．

點評：本題考查了利用倍角公式化簡三角函數，求其最值、最小正周期、及單調區(qū)間；關鍵是化為y=sinωx或者y=cosωx的形式．