Question

17．設函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{kx}{x+1}$+1（x＞-1）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）k＞0，若f（x）的最小值為g（k），當0＜k₁＜k₂且k₁+k₂=2，比較g（k₁）與g（k₂）的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的最小值，求出g（k₁）-g（k₂）的差，令h（k）=ln$\frac{k}{2-k}$-2k+2，（0＜k＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（k）＜0，從而比較g（k₁）與g（k₂）的大小即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞），
f'（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{k}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{x-（k-1）}{{（x+1）}^{2}}$，
令f'（x）＞0得：x＞k-1，
當k-1≤-1即k≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）；
當k-1＞-1即k＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，k-1），
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（k-1，+∞）；
（2）k＞0時，由（2）得：
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，k-1），
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（k-1，+∞）；
故f（x）的最小值是f（k-1）=g（k）=lnk-k+2，
當0＜k₁＜k₂且k₁+k₂=2，則k₂=2-k₁，
故0＜k₁＜1，
g（k₁）-g（k₂）=lnk₁-k₁+2-ln（2-k₁）+2-k₁-2=ln$\frac{{k}_{1}}{2{-k}_{1}}$-2k₁+2，
令h（k）=ln$\frac{k}{2-k}$-2k+2，（0＜k＜1），
h′（k）=$\frac{{2（k-1）}^{2}}{k（2-k）}$＞0，
故h（k）在（0，1）遞增，
故h（k）＜h（1）=0，
故h（k₁）＜h（k₂）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．