Question

14．橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，已知橢圓Γ過(guò)點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}$），且$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}P}$=0．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若橢圓上兩點(diǎn)C、D關(guān)于點(diǎn)M（1，$\frac{1}{2}$）對(duì)稱，求|CD|．

Answer 1

分析 （1）代入點(diǎn)P，求得a²=2，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到c，即有橢圓方程；
（2）方法一、運(yùn)用點(diǎn)差法，設(shè)出C，D的坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得CD的斜率，得到直線CD的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到；
方法二、運(yùn)用對(duì)稱的方法，設(shè)出C，D的坐標(biāo)，再作差，可得直線CD的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）由于橢圓Γ過(guò)點(diǎn)$P（\frac{4}{3}，\frac{3}）$，
即有$\frac{16}{{9{a^2}}}+\frac{1}{9}=1$，解得a²=2，
又$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}P}$=0，
則以AP為直徑的圓恰好過(guò)右焦點(diǎn)F₂，
又$P（\frac{4}{3}，\frac{3}），{F_2}（c，0），A（0，b）$，
得$\overrightarrow{{F_2}A}=（-c，b）$，$\overrightarrow{{F_2}P}=（\frac{4}{3}-c，\frac{3}）$，
即有$-c（\frac{4}{3}-c）+\frac{b^2}{3}=0$，
而b²=a²-c²=2-c²，所以c²-2c+1=0得c=1，
故橢圓Γ的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．             
（2）法一：設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則$x_1^2+2y_1^2=2，x_2^2+2y_2^2=2$，且x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
由$x_1^2+2y_1^2=2，x_2^2+2y_2^2=2$，
得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即$2（{x_1}-{x_2}）+2（{y_1}-{y_2}）=0⇒\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-1$，
所以CD所在直線的方程為$y=-x+\frac{3}{2}$，
將$y=-x+\frac{3}{2}$，代入x²+2y²=2得$3{x^2}-6x+\frac{5}{2}=0$，
即有x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{5}{6}$．
$|CD|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}•\sqrt{4-\frac{10}{3}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
法二：設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（2-x₁，1-y₁），
則$x_1^2+2y_1^2=2，{（2-{x_1}）^2}+2{（1-{y_1}）^2}=2$，
兩等式相減得${y_1}=-{x_1}+\frac{3}{2}$，
將$y=-x+\frac{3}{2}$，代入x²+2y²=2得$3{x^2}-6x+\frac{5}{2}=0$，
則有$|CD|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{2}•\sqrt{4-\frac{10}{3}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，同時(shí)考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和點(diǎn)差法、弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．