Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^m-3（m∈N₊）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足(a+1)-

m

99

＜(3-2a)-

m

99

的a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)冪函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，可以確定m-3＜0，再根據(jù)的圖象關(guān)于y軸對稱，即可得到f（x）為偶函數(shù)，從而確定m的值，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-

1

99

，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，即可列出關(guān)于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x^m-3在（0，+∞）上遞減，
∴m-3＜0，解得m＜3，
∵m∈N₊，
∴m=1，2，
又∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴f（x）為偶函數(shù)，
∴m-3是偶數(shù)，
又2-3=-1為奇數(shù)，1-3=-2為偶數(shù)，
∴m=1，
令g（x）=x-

1

99

，
∴g（x）=x-

1

99

在（-∞，0）和（0，+∞）上均為減函數(shù)，
∵(a+1)-

m

99

＜(3-2a)-

m

99

，
∴a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1，或

2

3

＜a＜

3

2

，
故a的取值范圍為{a|a＜-1或

2

3

＜a＜

3

2

}．

點(diǎn)評：本題考查了冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域，冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用．綜合考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，對于冪函數(shù)的問題，關(guān)鍵是正確的畫出冪函數(shù)的圖象，根據(jù)冪函數(shù)在第一象限的圖形，結(jié)合冪函數(shù)的定義域、奇偶性，即可畫出冪函數(shù)的圖象，應(yīng)用圖象研究冪函數(shù)的性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題．