Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點(diǎn)（

5

2

，a）到焦點(diǎn)F的距離為3，圓E是以（p，0）為圓心p為半徑的圓．
（1）求拋物線C和圓E的方程；
（2）若圓E內(nèi)切于△PQR，其中Q，R在y軸上，且R點(diǎn)在Q點(diǎn)上方，P在拋物線C上且在x軸下方，當(dāng)△PQR的面積取最小值時(shí)，求直線PR和PQ的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點(diǎn)（

5

2

，a）到焦點(diǎn)F的距離為3，可得

p

2

+

5

2

=3，解得p，即可得出拋物線C和圓E的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，y₁），Q（0，y₂），y₁＞y₂，則直線PR的方程為：y=

y0-y1

x0

x+y₁．由直線與圓相切的性質(zhì)可得：

|y0-y1+x0y1|

(y0-y1)2+ x 2 0

=1，注意到x₀＞2，上式化簡為(x0-2)

y

2 1

+2y₀y₁-x₀=0，同理可得(x0-2)

y

2 2

+2y0y2-x0=0．因此y₁，y₂ 是方程(x0-2)y2+2y0y-x₀=0的兩個(gè)根，可得|y₁-y₂|=

2x0

x0-2

．因此S_△PQR=

1

2

×

2x0

x0-2

×x₀=(x0-2)+

4

x0-2

+4利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點(diǎn)（

5

2

，a）到焦點(diǎn)F的距離為3，
∴

p

2

+

5

2

=3，解得p=1．
∴拋物線C：y²=2x，
圓E：（x-1）²+y²=1．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，y₁），Q（0，y₂），y₁＞y₂，則直線PR的方程為：y=

y0-y1

x0

x+y₁．
由直線與圓相切得：

|y0-y1+x0y1|

(y0-y1)2+ x 2 0

=1，
注意到x₀＞2，上式化簡為(x0-2)

y

2 1

+2y₀y₁-x₀=0，
同理可得(x0-2)

y

2 2

+2y0y2-x0=0．
∴y₁，y₂ 是方程(x0-2)y2+2y0y-x₀=0的兩個(gè)根，
∴|y₁-y₂|=

△

x0-2

=

2x0

x0-2

．
∴S_△PQR=

1

2

×

2x0

x0-2

×x₀=

x 2 0

x0-2

=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)，S_△PQR有最小值為8．
此時(shí)，P(4，-2

2

)，y_1，2=

2

±2．
∴直線PR的方程是y=

3 2 +2

4

x+

2

+2．
直線PQ的方程是y=-

3 2 -2

4

x+

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．