Question

19．（1）已知f（x）=ax³+bx²+cx-1是R上的偶函數(shù)，且f（1）=0，則f（x）=x²-1；
（2）已知對于x∈[0，+∞），有f（x）=x（x-1），且f（x）是R上的奇函數(shù)，則對于x∈（-∞，0），f（x）=x（-x-1）．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=ax³+bx²+cx-1是R上的偶函數(shù)，求出a=c=0，利用f（1）=0，求出b，即可求出f（x）；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，由已知條件可得：f（-x）=-x（-x-1），即-f（x）=-x（-x-1），由此求得x＜0時的f（x）的表達式．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx-1是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即a（-x）³+b（-x）²-cx-1=ax³+bx²+cx-1，
∴a=c=0，
∴f（x）=bx²-1，
∵f（1）=0，
∴b=1，
∴f（x）=x²-1；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
由當(dāng)x≥0時f（x）=x（x-1）可得：f（-x）=-x（-x-1）．
再由函數(shù)為奇函數(shù)可得-f（x）=-x（-x-1），
∴f（x）=x（-x-1）．
故x＜0時f（x）的表達式為：f（x）=x（-x-1）．
故答案為：x²-1；x（-x-1）．

點評 本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．