已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102511522831259942/SYS201210251153466718317209_ST.files/image001.png">的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)滿足:,且不是常值函數(shù),常數(shù)使,給出下列結(jié)論:①;②是奇函數(shù);③是周期函數(shù)且一個(gè)周期為;④內(nèi)為單調(diào)函數(shù)。其中正確命題的序號(hào)是___________。

 

【答案】

.③

【解析】解:根據(jù)題意,在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,

令y=0可得,2f(x)=2f(x)f(0),又由f(x)不是常函數(shù),即f(x)=0不恒成立,則f(0)=1,

依次分析4個(gè)命題可得:

對于①、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令x=y=

,可得f(t)+f(0)=

結(jié)合f(0)=1,f(t)=0,可得,則可得,故①錯(cuò)誤,

對于②、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(y)+f(-y)=0不恒成立,f(x)不是奇函數(shù),故②錯(cuò)誤,

對于③、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令y=t可得,在f(x+t)+f(x-t)=2f(x)f(t)=0,

即f(x+t)=-f(x-t),則f(x+3t)=-f(x+t)=f(x-t),即f(x+3t)=f(x-t),則f(x)是周期函數(shù)且一個(gè)周期為4t,③正確,

對于④、根據(jù)題意,無法判斷f(x)的單調(diào)性,則④錯(cuò)誤;

故答案為③.

 

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已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/00/c/zxvs82.gif" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)對任意的,,且
(1)求的值;
(2)若為單調(diào)函數(shù),,向量,是否存在實(shí)數(shù),對任意恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

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,且.

(1)求的值;

(2)求證:為奇函數(shù)且是周期函數(shù).

 

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(1)求的值;

(2)若為單調(diào)函數(shù),,向量,,是否存在實(shí)數(shù),對任意恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

 

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