Question

20．對(duì)于函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，設(shè)f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₃₆（x）=x，x∈R}，則集合M為（　　）

• A． 空集
• B． 實(shí)數(shù)集
• C． 單元素集
• D． 二元素集

Answer 1

分析 根據(jù)條件可分別求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），f₆（x），f₇（x），會(huì)得出f_n（x）是以4為周期，這樣即可解出方程f₂₀₃₆（x）=x，便可得到集合M所含元素的情況，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$，∴f₂（x）=1-$\frac{2}{f（x）+1}$=-$\frac{1}{x}$，
f₃（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，
∴f_n（x）是以4為周期，∴f₂₀₃₆（x）=f₄（x）=x，
∴集合M={x|f₂₀₃₆（x）=x，x∈R}=R．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的周期性的合理運(yùn)用．