Question

某學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=xsinx進(jìn)行研究，得出如下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；②存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立；③函數(shù)f（x）在（0，π）無(wú)最小值，但一定有最大值；④點(diǎn)（π，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．其中正確的是

1. A.
   ③
2. B.
   ②③
3. C.
   ②④
4. D.
   ①②④

Answer 1

B
分析：①化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，即可判定在上單調(diào)遞增的正誤；
②找出一個(gè)常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立即可；
③利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)f（x）在（0，π）的最值即可；
④找出關(guān)于點(diǎn)（π，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是否關(guān)于（π，0）對(duì)稱(chēng)即可判斷正誤；
解答：①f（-x）=-xsin（-x）=f（x），易知f（x）是偶函數(shù)，因此f（x）=xsinx在上不可能單調(diào)遞增；
②取M=1即可說(shuō)明結(jié)論是正確的；
③由②知|f（x）|≤|x|，故在（0，π）一定有最大值，由于f（x）＞0，且和0無(wú)限靠近，因此無(wú)最小值；
④，．故點(diǎn)（π，0）不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，牢記基本知識(shí)，基本性質(zhì)是解好數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵．