Question

某大學(xué)生在開(kāi)學(xué)季準(zhǔn)備銷(xiāo)售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元．根據(jù)歷史資料，得到開(kāi)學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如下圖所示．該同學(xué)為這個(gè)開(kāi)學(xué)季購(gòu)進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以X（單位：盒，100≤X≤200）表示這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，Y（單位：元）表示這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該產(chǎn)品的利潤(rùn)．
（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量X的平均數(shù)和眾數(shù)；
（2）將Y表示為X的函數(shù)；
（3）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于4800元的概率．

Answer 1

（1）153,150（2）y=,（3）0.9

解析試題分析：（1）以各組的中間值為各組需求量的代表值，計(jì)算出各組的頻率為概率，頻率最大對(duì)應(yīng)的需求量即為需求量的眾數(shù)，各組代表需求量與對(duì)應(yīng)的頻率的和就是需求量的平均數(shù)；（2）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)100≤x≤160時(shí)，y=50x-（160-x）•30=80x-1800，當(dāng)160＜x≤200時(shí)，y=160×50=8000，由此能將Y表示為X的函數(shù)，（3）根據(jù)（2）中利潤(rùn)與需求量的關(guān)系式，令y大于等于4800，列出關(guān)于需求量的不等式，求出需求量x的取值范圍，再根據(jù)題中的頻率分布表計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率.
試題解析：（1）由頻率直方圖得到：
需求量為110的頻率=0.005×20=0.1，
需求量為130的頻率=0.01×20=0.2，
需求量為150的頻率=0.015×20=0.3，
需求量為170的頻率=0.0125×20=0.25，
需求量為190的頻率=0.0075×20=0.15，
∴這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量X的眾數(shù)是150，
這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量X的平均數(shù)：     
=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．         4分
（2）∵每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元，
∴當(dāng)100≤x≤160時(shí)，
y=50x-（160-x）•30=80x-1800，
當(dāng)160＜x≤200時(shí)，
y=160×50=8000，
∴y=                      8分
（3）∵利潤(rùn)不少于4800元，
∴80x-4800≥4800，解得x≥120，
∴由（1）知利潤(rùn)不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．        12分
考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望與方差，頻率分布直方圖應(yīng)用，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，分段函數(shù)函數(shù)解析式，概率的估計(jì)