Question

若關(guān)于x的不等式（組）0≤x²-

1

3

x-

2n

(2n+1)2

＜

2

9

任意n∈N^*恒成立，則所有這樣的解x的集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式等價為

2n

(2n+1)2

-

2

9

≤x²-

1

3

x-

2

9

＜

2n

(2n+1)2

，
∵

2n

(2n+1)2

=

2n

(2n)2+2•2n+1

=

1

2n+ 1 2n +2

∈（0，

2

9

]，
∴

2n

(2n+1)2

-

2

9

∈（-

2

9

，0]，
∴要使

2n

(2n+1)2

-

2

9

≤x²-

1

3

x-

2

9

＜

2n

(2n+1)2

，對任意n∈N^*恒成立，
則0≤x²-

1

3

x-

2

9

≤0，
即x²-

1

3

x-

2

9

=0，解得x=-

1

3

或x=

2

3

，
故答案為：{-

1

3

，

2

3

}

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，基本不等式，其中將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答此類問題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．