Question

數(shù)列{a_n}中，數(shù)列{a_n•a_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的q的取值范圍；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前2n項的和S_2n．

Answer 1

分析：（ I）由題意可知，a_n+1a_n+2=a_na_n+1q，a_n+2a_n+3=a_na_n+1q²，結合已知a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，代入等比數(shù)列的通項，可求q的范圍
（ II）由數(shù)列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數(shù)列，得，

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，則數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，結合等比數(shù)列的求和公式，需要對q=1和q≠1兩種情況討論，分別利用分組求和可求

解答：解：（ I）∵數(shù)列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數(shù)列，
∴a_n+1a_n+2=a_na_n+1q，a_n+2a_n+3=a_na_n+1q²，
由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得a_na_n+1+a_na_n+1q＞a_na_n+1q²
∴1+q＞q²，即q²-q-1＜0（q＞0），
解得0＜q＜

1+ 5

2

．（4分）
（ II）由數(shù)列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數(shù)列，得

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，
這表明數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，（8分）
又a₁=1，a₂=2，
∴當q≠1時，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=

a1(1-qn)

1-q

+

a2(1-qn)

1-q

=

3(1-qn)

1-q

，（10分）
當q=1時，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…（12分）

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應用及分組求和方法的應用，而利用等比數(shù)列的求和公式進行求解時，一定要注意對公比q是否為1的考慮