Question

在各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n滿足Sn=

1

2

(an+

1

an

)
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）結(jié)果猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（不用證明）；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，能夠求出a₁，a₂，a₃．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：an=

n

-

n-1

(n∈N*)，
（3）由（2）可得：S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

利用回頭消去法化簡(jiǎn)即得．

解答：解：（1）由Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)，
令n=1得a1=

1

2

(a1+

1

a1

)⇒a₁=1，
令n=2得a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)⇒a2=

2

-1，
令n=3得a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)⇒a3=

3

-

2

，
同樣地，可求得a4=

4

-

3

．
故a₁=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

，a4=

4

-

3

…（6分）
（2）根據(jù)（1）猜想：an=

n

-

n-1

(n∈N*)…（10分）
（3）由（2）可得：
S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

=

n

(n∈N*)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查歸納推理、數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．