【題目】函數(shù)其圖像與軸交于兩點,且.

(1)求的取值范圍;

(2)證明:;(的導(dǎo)函數(shù);)

(3)設(shè)點C在函數(shù)圖像上,且ABC為等腰直角三角形,記的值.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3).

【解析】

試題分析:(1),當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,不符合題意;當(dāng)時,要函數(shù)圖像與軸有兩個交點,則需要極小值小于零且區(qū)間端點函數(shù)值大于零,由此可求得;(2)先將兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)中,求出的值,然后求出的表達式,利用導(dǎo)數(shù)證明這個表達式是單調(diào)遞減的,由此可證明;(3)根據(jù)已知條件有,利用等腰三角形求出的坐標(biāo),代入函數(shù)解析式,化簡后求得.

試題解析:

1,

,則,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),這與題設(shè)矛盾.

,令,則,當(dāng)時,,單調(diào)減,

當(dāng)時,,是單調(diào)增函數(shù),于是當(dāng)時,取得極小值,

函數(shù)的圖象與軸交于兩點,

,即,此時,存在,存在, =a33alna+a,又由上的單調(diào)性及曲線在上不間斷,可知為所求取值范圍.

(2),兩式相減得.記),

,

設(shè),是單調(diào)減函數(shù),

則有,而,

是單調(diào)增函數(shù),且

3)依題意有,則,

于是,在等腰三角形,顯然,,即,由直角三角形斜邊的中線性質(zhì),可知,,即,

,

,則,又,

,即

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