已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
2x-1a+2x+1
是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用f(1)+f(-1)=0,即可解得a的值,并利用定義檢驗(yàn)即可;
(2)判斷:單調(diào)遞增.設(shè)x1∈R,x2∈R且x1<x2,只要證明f(x1)-f(x2)<0,即可;
(3)利用函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性可得:對任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立?mt2+1>mt-1對任意的t∈R恒成立.對m分類討論和利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出.
解答:解:(1)由f(1)+f(-1)=0,得
4
a+1
+
-
1
2
a+1
=0 ⇒ a=2

檢驗(yàn):a=2時,f(x)=
2x-1
2+2x+1
f(-x)=
2-x-1
2+2-x+1
=
2x(2-x-1)
2x(2+2-x+1)
=
1-2x
2x+1+2
,
∴f(x)+f(-x)=0對x∈R恒成立,即f(x)是奇函數(shù).
(2)判斷:單調(diào)遞增.
證明:設(shè)x1∈R,x2∈R且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2+2x1+1
-
2x2-1
2+2x2+1
=
1
2
(
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1
)

=
1
2
[(1-
2
2x1+1
)-(1-
2
2x2+1
)]=
1
2x2+1
-
1
2x1+1
=
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)

x1x22x12x2,即2x1-2x2<0
2x1+1>0,2x2+1>0,∴
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)
<0

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在R上是增函數(shù).
(3)∵f(x)是奇函數(shù),∴不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0?f(mt2+1)>f(mt-1),
∵f(x)在R上是增函數(shù),∴對任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立,
即mt2+1>mt-1對任意的t∈R恒成立,
即mt2-mt+2>0對任意的t∈R恒成立.
m=0時,不等式即為2>0恒成立,合題意;
m≠0時,有
m>0
△=m2-8m<0
即0<m<8.
綜上:實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m<8
點(diǎn)評:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、“三個二次的關(guān)系”、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
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-2x+a2x+1
是奇函數(shù)
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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