Question

3．某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l₁，l₂，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l₁，l₂的距離分別為5千米和40千米，點N到l₁，l₂的距離分別為20千米和2.5千米，以l₂，l₁在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)y=$\frac{a}{{x}^{2}+b}$（其中a，b為常數(shù)）模型．
（1）求a，b的值；
（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t．
①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；
②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．

Answer 1

分析 （1）由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，2.5），將其分別代入y=$\frac{a}{{x}^{2}+b}$，建立方程組，即可求a，b的值；
（2）①求出切線l的方程，可得A，B的坐標，即可寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；
②設g（t）=${t}^{2}+\frac{4×1{0}^{6}}{{t}^{4}}$，利用導數(shù)，確定單調(diào)性，即可求出當t為何值時，公路l的長度最短，并求出最短長度．

解答 解：（1）由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，2.5），
將其分別代入y=$\frac{a}{{x}^{2}+b}$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{25+b}=40}\\{\frac{a}{400+b}=2.5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1000}\\{b=0}\end{array}\right.$，
（2）①由（1）y=$\frac{1000}{{x}^{2}}$（5≤x≤20），P（t，$\frac{1000}{{t}^{2}}$），
∴y′=-$\frac{2000}{{t}^{3}}$，
∴切線l的方程為y-$\frac{1000}{{t}^{2}}$=-$\frac{2000}{{t}^{3}}$（x-t）
設在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B點，則A（$\frac{3t}{2}$，0），B（0，$\frac{3000}{{t}^{2}}$），
∴f（t）=$\sqrt{（\frac{3t}{2}）^{2}+（\frac{3000}{{t}^{2}}）^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{{t}^{2}+\frac{4×1{0}^{6}}{{t}^{4}}}$，t∈[5，20]；
②設g（t）=${t}^{2}+\frac{4×1{0}^{6}}{{t}^{4}}$，則g′（t）=2t-$\frac{16×1{0}^{6}}{{t}^{5}}$=0，解得t=10$\sqrt{2}$，
t∈（5，10$\sqrt{2}$）時，g′（t）＜0，g（t）是減函數(shù)；t∈（10$\sqrt{2}$，20）時，g′（t）＞0，g（t）是增函數(shù)，
從而t=10$\sqrt{2}$時，函數(shù)g（t）有極小值也是最小值，
∴g（t）_min=300，
∴f（t）_min=15$\sqrt{3}$，
答：t=10$\sqrt{2}$時，公路l的長度最短，最短長度為15$\sqrt{3}$千米．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查導數(shù)知識的綜合運用，確定函數(shù)關(guān)系，正確求導是關(guān)鍵．