Question

2．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在（1，b）處的切線過點(diǎn)（2，1），求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-2x²+（a+4）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)，令f'（1）=-1，得到切線方程，利用f（x）在（1，b）處的切線過點(diǎn)（2，1），即可解得b的值；
（2）由g（x）≥-2x²+（a+4）x分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)可求最值．

解答 解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f'（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f'（1）=-1，則切線方程為y-b=-（x-1），即x+y-1-b=0．
又∵切線過點(diǎn)（2，1），∴2+1-1-b=0，
∴b=2．
（2）由g（x）≥-2x²+（a+4）x，得（x-lnx）a≤2x²-4x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時(shí)取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤$\frac{2{x}^{2}-4x}{x-lnx}$恒成立，
即a≤（ $\frac{2{x}^{2}-4x}{x-lnx}$）_min．     
令t（x）=$\frac{2{x}^{2}-4x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
求導(dǎo)得，t′（x）=$\frac{2（x-1）（x+2-lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，t_min（x）=t（1）=-2，
∴a≤-2．

點(diǎn)評 該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．