Question

12．一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm，
（1）求圓錐體的高；
（2）一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余的空間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓錐的定義，利用勾股定理加以計(jì)算，可得圓錐的高等于8cm；
（2）作出圓錐的軸截面如圖，根據(jù)球與側(cè)面、底面相切，利用相似三角形的性質(zhì)列式列式，算出內(nèi)切球的半徑R，進(jìn)而利用球的體積公式可算出答案．

解答 解：（1）設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，
∵l=10cm，r=6cm，
∴h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{100-36}$=8cm
即圓錐的高等于8cm；
（2）作出圓錐的軸截面如圖，球于圓錐側(cè)面相切，
則OE⊥AB于E，BD⊥AD于D，OE=OD=R，（R為球的半徑）
則△AEO∽△ADB，可得OE：BD=AO：AB，
即$\frac{R}{6}=\frac{8-R}{10}$，
解之得球半徑R=3cm，
因此球的體積V=$\frac{4}{3}{πR}^{3}$=36πcm³．
圓錐的體積V=$\frac{1}{3}{πr}^{2}h$=96πcm³．
故圓錐體剩余的空間體積為60πcm³．

點(diǎn)評 本題給出圓錐滿足的條件，求它的高并求內(nèi)切球的體積．著重考查了圓錐的定義、球的體積公式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．