Question

17．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量$\overrightarrow{OA}$=（-1，-2），$\overrightarrow{OB}$=（1，4），$\overrightarrow{OC}$=（2，-4），在向量$\overrightarrow{OC}$上是否存在點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 假設(shè)在向量$\overrightarrow{OC}$上存在點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，根據(jù)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，即可求出是否存在滿足條件的點(diǎn)P．

解答 解：假設(shè)在向量$\overrightarrow{OC}$上存在點(diǎn)P（2x，-4x），使得$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，
則$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$=（-1-x，-2+4x），
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$=（1-2x，4+4x）；
 所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-1-x）（1-2x）+（-2+4x）（4+4x）=0，
化簡得，2x²+x-1=0；
解得x=$\frac{1}{2}$，或x=-1（舍去），
所以存在點(diǎn)P（1，-2）滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．