Question

（本小題滿分12分）已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線分別交直線于點(diǎn).

（1）求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知為原點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

（1）拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）證明如下；

【解析】

試題分析：（1）由題可知，是拋物線上一點(diǎn)，將點(diǎn)代入到方程中即可，易得

拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）由題可知，經(jīng)過點(diǎn)的直線，運(yùn)用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程為，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得，由韋達(dá)定理

設(shè)出直線方程AE，以及直線方程EB,即可得到點(diǎn)，通過計(jì)算得到，即可得到，即為定值 ；

試題解析：（Ⅰ）將代入，得 2分

所以拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 4分

（Ⅱ）設(shè)，，，

法一：因?yàn)橹本�不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線一定有斜率，設(shè)直線方程為

與拋物線方程聯(lián)立得到 ，消去，得：

則由韋達(dá)定理得： 6分

直線的方程為：，即，

令，得同理可得： 8分

又 ，

所以

10分

所以，即為定值 12分

法二：設(shè)直線方程為

與拋物線方程聯(lián)立得到 ，消去，得：

則由韋達(dá)定理得： 6分

直線的方程為：，即，

令，得 同理可得： 8分

又 ，

10分

所以，即為定值 12分

考點(diǎn)：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)向量的數(shù)量積應(yīng)用

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：拋物線的幾何性質(zhì) 試題屬性

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