Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²e^x-lnx．（ln2≈0.6931，$\sqrt{e}$≈1.649）
（Ⅰ）當x≥1時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當x＞0時，不等式f（x）＞1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）求出f′（x）遞增，得到f′（$\frac{1}{2}$）≈0，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最小值大于1即可．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=xe^x（x+2）-$\frac{1}{x}$，
x≥1時，xe^x（x+2）≥3e，-1≤-$\frac{1}{x}$＜0，
故f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）遞增；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：
f′（x）=xe^x（x+2）-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
∴f″（x）=（x²+4x+2）e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴f′（x）在（0，+∞）遞增，
而f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{e}$×$\frac{5}{2}$-2≈0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
而f（x）＞f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$×$\sqrt{e}$-ln$\frac{1}{2}$≈0.41225+0.6931＞1，
故當x＞0時，不等式f（x）＞1恒成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．