Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁坐標(biāo)為（-2，0），F(xiàn)₂為橢圓C的右焦點，點M（$\sqrt{3}$，1）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過F₂與橢圓C相交于P，Q兩點，記弦PQ中點為N，過F₂作直線l的垂線與直線ON交于點T．
①若直線l斜率為$\sqrt{3}$，求PF₁+QF₁的值；
②求證：點T總在某定直線上．

Answer 1

分析 （1）由已知求得c=2，再由點M（$\sqrt{3}$，1）在橢圓C上，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）①寫出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求得弦長；
②由條件知直線l斜率存在且不為零，設(shè)直線l方程為y=k（x-2），則直線F₂T的方程為$y=-\frac{1}{k}（x-2）$，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出N的坐標(biāo)，得到ON的方程，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x-2）}\\{y=-\frac{1}{3k}x}\end{array}\right.$求得N的橫坐標(biāo)說明點T總在某定直線上．

解答 （1）解：由條件知c=2，則a²+b²=4，
∴橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
由點M（$\sqrt{3}$，1）在橢圓C上，得$\frac{3}{^{2}+4}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得b²=2（負(fù)值舍去）．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）①解：設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線l：$y=\sqrt{3}（x-2）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=\sqrt{3}（x-2）}\end{array}\right.$，消去y得到5x²-18x+15=0，
此方程△≥0．
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=3$．
則PQ=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=2\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{（\frac{18}{5}）^{2}-12}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$．
由PF₁+PF₂+QF₁+QF₂=4a，得PF₁+QF₁=4a-（PF₂+QF₂）=$\frac{16\sqrt{6}}{5}$；
②證明：由條件知直線l斜率存在且不為零，設(shè)直線l方程為y=k（x-2），
則直線F₂T的方程為$y=-\frac{1}{k}（x-2）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$，消去y得到（1+3k²）x²-12k+12k²-6=0，此方程△≥0．
則${x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-6}}{{1+3{k^2}}}$
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=$k•\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}-4k=\frac{-4k}{1+3{k}^{2}}$．
∴點$N（\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}，\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}）$，
∴直線ON斜率為$\frac{\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}}{\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}=-\frac{1}{3k}$．
直線ON方程為$y=\frac{1}{-3k}x$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x-2）}\\{y=-\frac{1}{3k}x}\end{array}\right.$，得到$-\frac{1}{k}（x-2）=-\frac{1}{3k}x$，解得x=3．則T橫坐標(biāo)為定值3．
∴點T恒在直線x=3上．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用弦長公式求弦長，考查恒過定點問題的求解方法，是中檔題．