Question

已知命題p：方程

x2

2m

+

y2

9m

=1表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線

y2

5

-

x2

m

=1的離心率e∈（

6

2

，

2

），若命題p，q中有且只有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：先根據(jù)橢圓的標準方程，雙曲線的離心率求出命題p，q下的m的取值范圍，然后根據(jù)p，q中有且只有一個為真命題得到，p真q假，和p假q真兩種情況，求出每種情況的m的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：命題p：方程

x2

2m

+

y2

9m

=1表示焦點在y軸上的橢圓，則：
9m＞2m＞0，即m＞0；
命題q：首先m＞0，∵雙曲線

y2

5

-

x2

m

=1的離心率e∈（

6

2

，

2

），則：

6

2

＜

5+m

5

＜

2

，即

5

2

＜m＜5；
∴若命題p，q中有且只有一個為真命題，則：
p真q假時，

m＞0 0＜m≤ 5 2 ，或m≥5

，解得0＜m≤

5

2

，或m≥5；
p假q真時，

m≤0 5 2 ＜m＜5

，解得m∈∅；
∴實數(shù)m的取值范圍是(0，

5

2

]∪[5，+∞)．

點評：考查橢圓的標準方程，橢圓的交點，雙曲線的標準方程，以及雙曲線的離心率．