在邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？

【答案】分析：設(shè)箱底邊長為x，根據(jù)已知中箱子的制作方法，我們可求出容積V（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，分析其單調(diào)性，可得到函數(shù)的最值點，代入可得答案．
解答：解：設(shè)箱底邊長為x，則箱高為h=×（0＜x＜a），…（2分）
箱子的容積為V（x）==（0＜x＜a），．              …（6分）
由V′（x）==0解得x=0（舍），x=，…（8分）
且當(dāng)x∈（0，）時，V′（x）＞0；當(dāng)x∈（，a）時，V′（x）＜0，
所以函數(shù)V（x）在x=處取得極大值，…（10分）
這個極大值就是函數(shù)V（x）的最大值：V（）==．…（12分）
答：當(dāng)箱子底邊長為時，箱子容積最大，最大值為．                …（14分）
點評：本題考查的知識點是棱柱的體積，導(dǎo)數(shù)法求最值，其中根據(jù)已知求出容積V（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值
3
a
2
，類比上述結(jié)論，在棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值
6
a
3
6
a
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在邊長為a的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形.這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等.如：若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器，如圖(2)，則當(dāng)容器的高為多少時，可使這個容器的容積最大，并求出容積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷C（六）（解析版） 題型：解答題

在邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？

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