Question

在邊長(zhǎng)為a的正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無(wú)蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

分析：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x，根據(jù)已知中箱子的制作方法，我們可求出容積V（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，分析其單調(diào)性，可得到函數(shù)的最值點(diǎn)，代入可得答案．

解答：解：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x，則箱高為h=

3

3

×

a-x

2

（0＜x＜a），…（2分）
箱子的容積為V（x）=

1

2

x2×sin60°×h=

1

8

ax2-

1

8

x3（0＜x＜a），．              …（6分）
由V′（x）=

1

4

ax -

3

8

x2=0解得x=0（舍），x=

2

3

a，…（8分）
且當(dāng)x∈（0，

2

3

a）時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)x∈（

2

3

a，a）時(shí)，V′（x）＜0，
所以函數(shù)V（x）在x=

2

3

a處取得極大值，…（10分）
這個(gè)極大值就是函數(shù)V（x）的最大值：V（

2

3

a）=

1

8

a(

2

3

a)2-

1

8

(

2

3

a)3=

a3

54

．…（12分）
答：當(dāng)箱子底邊長(zhǎng)為

2

3

a時(shí)，箱子容積最大，最大值為

a3

54

．                …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的體積，導(dǎo)數(shù)法求最值，其中根據(jù)已知求出容積V（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．