Question

如圖所示，PA為圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過點(diǎn)O的割線，PA=10，PB=5，的平分線與BC和圓分別交于點(diǎn)D和E。

（1）求證：；

（2）求AD·AE的值。

 

Answer 1

【答案】

（ 1）直接根據(jù)∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出結(jié)論；

（2）90

【解析】

試題分析：（ I）直接根據(jù)∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出結(jié)論；

（ II）先根據(jù)切割線定理得到PA²=PB?PC；結(jié)合第一問的結(jié)論以及勾股定理求出；再結(jié)合條件得到△ACE∽△ADB，進(jìn)而求出結(jié)果．

解：（ I）∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAB=∠ACP，…（1分）

又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）

∴．…（3分）

（ II）∵PA為⊙O的切線，PBC是過點(diǎn)O的割線，

∴PA²=PB?PC．…（5分）

又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）

由（ I）知，，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CAB=90°．

∴AC²+AB²=BC²=225，

∴ …（7分）

連接CE，則∠ABC=∠E，…（8分）

又∠CAE=∠EAB，

∴△ACE∽△ADB，

∴ …（9分）

∴．…（10分）

 

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．解決本題第一問的關(guān)鍵在于先由切線PA得到∠PAB=∠ACP．