Question

9．已知命題p：?x∈R，1-2sin²x+sinx+a≥0，命題q：?x₀∈R，ax₀²-2x+a＜0，命題p∨q為真，命題p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的a的范圍，結(jié)合復(fù)合命題的真假，求出對應(yīng)的a的范圍即可．

解答 解：由命題p得a≥-cos2x-sinx=2sin²x-sinx-1，
因為sinx∈[-1，1]，
所以當(dāng)sinx=-1時，（2sin²x-sinx-1）_max=2，
所以命題p：a≥2，
由命題q得：當(dāng)a≤0時顯然成立；
當(dāng)a＞0時，需滿足△=4-4a²＞0，
解得0＜a＜1，
所以命題q：a＜1，
因為命題p∨q為真，命題p∧q為假，所以命題p和q一真一假，
若命題p真q假，則a≥2；若命題p假q真，則a＜1，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）∪[2，+∞）．

點評 本題考查了三角函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．