Question

已知：定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），其中a為常數(shù)．
（1）若a=1，求：f（x）的圖象在點(diǎn)（1，-2）處的切線方程；
（2）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求：實(shí)數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
則k=f′（1）=-3，
∴切線方程為：y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0；
（2）f（x）=ax³-3x²，得到f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（1）=0即3（a-2）=0，∴a=2；
（3）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，則a=0符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=3ax（x-），令f′（x）=0，則x₁=0，x₂=，
當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)任意x∈（-1，0），f′（x）＞0，則a＞0符合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（，0）時(shí)，f′（x）＞0，則≤-1，∴-2≤a＜0符合題意，
綜上所述，a≥-2滿足要求．
分析：（1）把a(bǔ)=1代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，得到的導(dǎo)函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)求出的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線的方程即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值為0，得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（3）當(dāng)a等于0時(shí)，代入確定出f（x），得到f（x）在區(qū)間（-1，0）為增函數(shù)，得到a=0滿足題意；當(dāng)a不等于0時(shí)，分a大于0和a小于0兩種情況考慮，當(dāng)a大于0時(shí)，得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（-1，0）上其值大于0，所以a大于0滿足題意，當(dāng)a小于0時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出a的取值范圍，綜上，得到所有滿足題意的a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，掌握函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，是一道中檔題．