Question

已知函數(shù)f(x)在R上有定義,對任何實數(shù)a＞0和任何實數(shù)x,都有f(ax)=af(x).

(1)證明f(0)=0;

(2)證明其中k和h均為常數(shù);

(3)當(2)中的k＞0時,設g(x)=+f(x)(x＞0),討論g(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

Answer 1

證明:(1)令x=0,則f(0)=af(0),∵a＞0,∴f(0)=0.

(2)①令x=a,∵a＞0,∴x＞0,則f(x²)=xf(x).

假設x≥0時,f(x)=kx(k∈R),則f(x²)=kx²,而xf(x)=x·kx=kx²,

∴f(x²)=xf(x),即f(x)=kx成立.

②令x=-a,∵a＞0,∴x＜0,f(-x²)=-xf(x).

假設x＜0時,f(x)=hx(h∈R),

則f(-x²)=-hx²,而-xf(x)=-x·hx=-hx²,

∴f(-x²)=-xf(x),即f(x)=hx成立.

∴f(x)=成立.

(3)當x＞0時,g(x)=+kx,

g′(x)=,

令g′(x)=0,得x=1或x=-1;

當x∈(0,1)時,g′(x)＜0,∴g(x)是單調(diào)遞減函數(shù);

當x∈［1,+∞)時,g′(x)＞0,∴g(x)是單調(diào)遞增函數(shù).

∴當x=1時,函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)取得極小值,極小值為g(1)=+k.