Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上．

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知?jiǎng)又本�過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)．試問軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）軸上存在點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的定義求出a的值，進(jìn)而可求b的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先利用特殊位置，猜想點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再證明一般性也成立即可

試題解析：（1）由題意知，

根據(jù)橢圓的定義得：

即

，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得恒成立．

① 當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，．

則

解得．

② 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，．

則

解得或

③ 由①②可知當(dāng)直線的斜率為或不存在時(shí)，使得成立．

下面證明即時(shí)恒成立．

設(shè)直線的斜率存在且不為時(shí)，直線方程為，,

由，可得

，

∴

綜上所述：在軸上存在點(diǎn)，使得恒成立．