【題目】設(shè)圓x2y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓AC,D兩點(diǎn),過BAC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線lC1M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)圖形中圓的半徑相等及平行線同位角相等容易得出EB=ED,得出結(jié)論|EA|+|EB|為定值,利用定義可以判斷出點(diǎn)E的軌跡為橢圓,求出方程,但要注意標(biāo)注范圍;(2)求對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的最值,首先設(shè)直線方程聯(lián)立方程組求弦長(zhǎng),表示出四邊形的面積,再求出面積的最值,注意直線的斜率不存在的情形.

試題解析:

(1)∵|AD|=|AC|,EBAC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC

∴|EB|=|ED|,

故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2y2=16,

從而|AD|=4.

∴|EA|+|EB|=4.

由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,

由橢圓定義可得點(diǎn)E的跡方程為: (y≠0).

(2)當(dāng)lx軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為yk(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).

得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.

x1x2x1x2 .

∴|MN|= |x1x2|= .

過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m

y=- (x-1),Am的距離為 ,

∴|PQ|=2 .

故四邊形MPNQ的面積

S|MN||PQ|=12 .

可得當(dāng)lx軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8).

當(dāng)lx軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.

綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8 ).

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