Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=4y的焦點，直線l：y=kx+m與拋物線交于不同的兩點A，B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=λ$．
（1）當(dāng)直線l過拋物線C的焦點F時，求λ的值；
（2）設(shè)⊙O是以O(shè)為圓心且過焦點F的圓，當(dāng)直線l與⊙O相切時，若λ∈（-3，0），求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點F，可得m=1，將直線方程代入拋物線方程，運用韋達定理，結(jié)合點滿足拋物線方程和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到λ的值；
（2）求得圓O的方程，運用直線和圓相切的條件d=r，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合條件，可得m的范圍，再由三角形的面積公式，化簡計算可得所求范圍．

解答 解：（1）拋物線C：x²=4y的焦點F為（0，1），
當(dāng)直線l過拋物線C的焦點F時，即有m=1，
將y=kx+1代入拋物線x²=4y，可得
x²-4kx-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂=-4，y₁y₂=$\frac{1}{4}$x₁²•$\frac{1}{4}$x₂²=1，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=λ$，可得λ=x₁x₂+y₁y₂=-4+1=-3；
（2）圓O的方程為x²+y²=1，
直線y=kx+m代入拋物線方程可得，
x²-4kx-4m=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
由直線和圓相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即為1+k²=m²，（m＞1），
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=λ$，可得λ=x₁x₂+y₁y₂=-4m+m²∈（-3，0），
解得m∈（3，4），
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=|m|•$\sqrt{16{k}^{2}+16m}$=4|m|•$\sqrt{{m}^{2}+m-1}$，
由于|AB|²=16（m⁴+m³-m²），
由f（m）=m⁴+m³-m²的導(dǎo)數(shù)為f′（m）=4m³+3m²-2m，
當(dāng)3＜m＜4時，f′（m）＞0，f（m）遞增，
即有|AB|∈（12$\sqrt{11}$，16$\sqrt{19}$）．
即有S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|∈（6$\sqrt{11}$，8$\sqrt{19}$）．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)的運用，直線和圓相切的條件，同時考查弦長公式的運用，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．