Question

設(shè)A、B為函數(shù)y=

3

2

|x|( x∈[-1，1] )圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且 AB∥x軸，又有定點(diǎn)M(1，m)(m＞

3

2

)，已知M是線段BC的中點(diǎn)．
（1）設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，寫(xiě)出△ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)S=f（t）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)S=f（t）的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)B的坐標(biāo)，利用M是線段BC的中點(diǎn)，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可得△ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)S=f（t）的表達(dá)式；
（2）先配方，再分類(lèi)討論，即可求得函數(shù)S=f（t）的最大值，及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，設(shè)B(t，  

3

2

|t|)，由M是線段BC的中點(diǎn)，且M(1，m)(m＞

3

2

)，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(2-t，   2m-

3

2

|t|)．
∴S=

1

2

•2|t|•[(2m-

3

2

|t|)-

3

2

|t|]=|t|(2m-3|t|)
即：S=f(t)=-3|t|2+2m|t|(|t|∈(0，1]，  m＞

3

2

)…（6分）
（2）由上知：f(t)=-3|t|2+2m|t|=-3(|t|-

m

3

)2+

m2

3

(|t|∈(0，1]，  m＞

3

2

)
①當(dāng) 

m 3 ≤1 m＞ 3 2

即 

3

2

＜m≤3時(shí)，令|t|=

m

3

，f（t）有最大值 

m2

3

，
此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C (2±

m

3

，   

3

2

m)；
②當(dāng) 

m 3 ＞1 m＞ 3 2

即 m＞3時(shí)，令|t|=1，f（t）有最大值 2m-3，此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 C (1，  2m-

3

2

)或 C (3，  2m-

3

2

)…．（12分）
綜上，當(dāng)

3

2

＜m≤3時(shí)，f（t）有最大值

m2

3

，此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C (2±

m

3

，   

3

2

m)；當(dāng)m＞3時(shí)，f（t）有最大值2m-3，此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C (1，  2m-

3

2

)或C (3，  2m-

3

2

)…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的計(jì)算，考查函數(shù)的最值，考查配方法的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．