Question

【題目】已知函數(shù)， ，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．

（Ⅰ）求， 的值．

（Ⅱ）若時(shí)， ，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）的取值范圍是．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè)，則，故只需證即可。由題意得，即，又由，得， ，分， ， 三種情況分別討論判斷是否恒成立即可得到結(jié)論。

試題解析：

（I）∵，

∴， ，

由題意得 ， ，

解得， ．

∴ ， ．

（II）由（I）知， ，

設(shè)，

則，

由題設(shè)可得，即，

令，得， ．

（i）若，則，

從而當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

故在的最小值為，

而，

故當(dāng)時(shí)， ，即恒成立．

（ii）若，

則，

從而當(dāng)時(shí)， ，即在單調(diào)遞增，

而，

故當(dāng)時(shí)， ，即恒成立．

（iii）若， ，

則在上單調(diào)遞增，

而，

從而當(dāng)時(shí)， 不可能恒成立，

綜上可得的取值范圍是．